выберите два таких числа
Выберите два таких числа
Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 127?
Переведем число из десятичной системы счисления в двоичную: нужно делить его на 2, пока делимое не будет меньше 2. После запишем остатки от деления начиная с конца. У нас получится число 1111111. Оно содержит 7 единиц.
Укажите целое число от 8 до 11, двоичная запись которого содержит ровно две единицы. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
Представим все числа в двоичной системе счисления:
Из чисел 9 и 10 выбираем число 10, поскольку оно является наибольшим.
Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 519?
Переведём число 519 в двоичную систему:
51910 = 2 9 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 10000001112.
Переведите в двоичную систему десятичное число 99.
Представим число в виде степеней двойки:
Вычислите разность X-Y двоичных чисел, если
Ответ запишите в двоичной системе.
Переведём в десятичную систему счисления:
Вычислим разность: 84 − 4 = 80. Таким образом, получаем ответ: 
Выберите два таких числа
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске. (Или числа 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4.)
б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.
в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части 
, то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.
Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2 (или 2, 4, 4 или 2, 2, 2, 4); б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.
На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Заметим, что если среди выписанных чисел есть число 1, то попарные суммы всех остальных чисел будут делиться на 1.
б) Может. Например, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a = 403.
в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Другой пример — числа a, 2a, 3a, 5a, где a = 403.
Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что a 5000. Противоречие.
Приведём другое доказательство.
Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них делится на третье. Если они все имеют отличный от 1 наибольший общий делитель d, то на него можно сократить, и свойство делимости сохранится. Будем считать, что все три числа взаимно простые. Поскольку сумма двух чисел делится на третье, то сумма всех чисел делится на каждое. Числа попарно взаимно просты, поэтому их сумма должна делиться на произведение. В частности, a + b + c ≥ abc. Полагая a 5000.
На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.
б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна 
а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна 
и их 
штук.
После описанных действий будет чисел с общей суммой 
Значит,
Отсюда следует, что 
Но тогда 
что невозможно.
в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения 
Очевидно, следует взять 
и максимизировать 
то есть следует максимизировать x.
Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит 
откуда 
Тогда требуемое выражение будет равно 
Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая 
Ответ: а) да б) нет в) 
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.
б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.
Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.
Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.
в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Выберите два таких числа
А) Докажите, что среди произвольных 11 натуральных чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.
Б) Докажите, что среди произвольных 11 целых чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.
В) Докажите, что среди произвольных 10 натуральных чисел всегда найдутся несколько, сумма которых делится на 10.
а) Посмотрим на остатки от деления этих 11 чисел на 10. Чисел 11, а различных остатков 10, поэтому обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками. Разность этих двух чисел и будет кратна 10.
б) Решение буквально повторяет пункт а).
в) Расположим числа в произвольном порядке. Рассмотрим следующие суммы:
— первое число из набора
— сумма первых двух чисел в наборе
— сумма первых трех чисел в наборе
— сумма всех чисел набора.
Всего таких сумм будет ровно 10. Если какая-то сумма делится на 10, то задача решена. Если никакая сумма не делится на 10, то есть среди остатков нет равного 0, то рассмотрим остатки от деления этих сумм на 10.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); Выберите два таких числаДан набор из N целых положительных чисел. Из них нужно выбрать и вывести два числа так, чтобы их сумма была нечётна, а произведение делилось на 5 и при этом было максимально возможным. Выбранные числа можно выводить в любом порядке. Если есть несколько подходящих пар, можно выбрать любую из них. Если подходящих пар нет, нужно вывести 0. Напишите эффективную по времени и по памяти программу для решения этой задачи. Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз. Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 килобайта и не увеличивается с ростом N. Максимальная оценка за правильную (не содержащую синтаксических ошибок и дающую правильный ответ при любых допустимых входных данных) программу, эффективную по времени и по памяти, — 4 балла. Максимальная оценка за правильную программу, эффективную только по времени или только по памяти, — 3 балла. Максимальная оценка за правильную программу, не удовлетворяющую требованиям эффективности, — 2 балла. Вы можете сдать одну или две программы решения задачи. Если Вы сдадите две программы, каждая из них будет оцениваться независимо от другой, итоговой станет бо́льшая из двух оценок. Перед текстом программы кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию. Описание входных и выходных данных. В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (1 ≤ N ≤ 1000). В каждой из последующих N строк записано одно натуральное число, не превышающее 100. Пример входных данных: Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных: Из 5 чисел можно составить 10 пар. В данном случае условиям удовлетворяют две пары: (2, 5) и (4, 5). Суммы чисел в этих парах (7 и 11) нечётны, а произведения (10 и 20) делятся на 5. У всех остальных пар как минимум одно из этих условий не выполняется. Из двух возможных пар выводим ту, в которой больше произведение элементов. Разобьём все числа исходного набора на 4 группы в зависимости от их чётности и делимости на 5: m1 нечётные числа, не кратные 5; m2 чётные числа, не кратные 5; m5 нечётные числа, кратные 5; m10 чётные числа, кратные 5. Чтобы сумма двух чисел было нечётной, одно из них должно быть чётным, а другое — нечётным. Чтобы произведение двух чисел делилось на 5, хотя бы одно из этих чисел должно делиться на 5. Таким образом, нужно выбрать два числа из групп m1 и m10, или из групп m2 и m5, или из групп m5 и m10. Чтобы получить пару с максимальным произведением, достаточно сохранить максимальный элемент из каждой группы, сравнить соответствующие произведения и выбрать из них наибольшее. Сами числа при этом можно не хранить, достаточно при вводе определить остаток от деления очередного числа на 2 и на 5, сравнить число с текущим максимумом соответствующей группы и при необходимости обновить этот максимум и увеличить соответствующий счётчик. Таким образом, независимо от количества чисел в исходном наборе, после чтения исходных данных для хранения необходимой информации хватит 4 переменных, и программа получится эффективной по памяти. Ниже приведена реализующая описанный выше алгоритм программа на языке Паскаль (использована версия PascalABC). Пример правильной и эффективной программы на языке Паскаль: Выберите два таких числаЧетырёхзначное число A состоит из цифр 2, 4, 7, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 4, 5, 8, 9. Известно, что Заметим, что поскольку Ответ: 2749, 2947, 2974, 4297, 4729, 4792 и 4927. Четырёхзначное число A состоит из цифр 0, 3, 5, 8, а четырёхзначное число B — из цифр 0, 1, 6, 7. Известно, что Заметим, что поскольку Четырёхзначное число A состоит из цифр 2, 3, 7, 8, а четырёхзначное число B — из цифр 4, 5, 6, 7. Известно, что Заметим, что поскольку Ответ: 2738, 2837, 2873, 3287, 3728, 3782 и 3827. Четырёхзначное число A состоит из цифр 3, 4, 8, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 6, 7, 8, 9. Известно, что B = 2A. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 3500. Заметим, что поскольку B = 2A, число B четное. Оно состоит из цифр 6, 7, 8, 9, поэтому заканчивается на 6 или 8. По условию, число A большее 3500, поэтому число В больше 7000, то есть не начинается с 6. Составим все такие числа, разделим их на 2 и проверим, что полученное число записано цифрами 3, 4, 8, 9. Находим варианты для B: 9876, 9786, 8976, 8796, 7896, 7986, 9768, 9678, 7968, 7698. Делением устанавливаем, что числа А могут быть равны: 4938, 4893, 4488, 4398, 3948, 3993, 4884, 4839, 3984, 3849 и только они. Из найденных чисел цифрами 3, 4, 8, 9 записываются числа 4938, 4893, 4398, 3948, 4839, 3984 и 3849. Ответ: 3849, или 3948, или 3984, или 4398, или 4839, или 4893, или 4938. Четырёхзначное число A состоит из цифр 1, 4, 6, 9, а четырёхзначное число B — из цифр 2, 3, 8, 9. Известно, что B = 2A. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 1500. Заметим, что поскольку B = 2A, число B четное. Оно состоит из цифр 2, 3, 8, 9, поэтому заканчивается на 2 или 8. Составим все такие числа, разделим их на 2 и проверим, что полученное число записано цифрами 1, 4, 6, 9 и больше 1500. Находим варианты для B: 9832, 9382, 8932, 8392, 3892, 3982, 9328, 9238, 3928, 3298, 2938, 2398. Делением устанавливаем, что числа А могут быть равны: 4916, 4691, 4196, 1946, 4619, 1964, 1649, 1469 и только они. Число 1469 меньше 1500, остальные числа удовлетворяют условию задачи. Ответ: 4916, 4691, 4196, 1946, 4619, 1964 и 1649. Четырёхзначное число A состоит из цифр 1, 2, 6, 7, а четырёхзначное число B — из цифр 2, 3, 4, 5. Известно, что В = 2А. Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 1500. Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа. Четырёхзначное число A состоит из цифр 0, 1, 5, 6, а четырёхзначное число B — из цифр 0, 1, 2, 3. Известно, что Наибольшая возможная первая цифра B — 3, поэтому первой цифрой А может быть только 1. Поскольку Если число B заканчивается на 0, то число A может заканчиваться на 0 или 5, то есть имеет вид 1××0 или 1××5. Проверка показывает, что числа 1560, 1065 и 1605 подходят, а число 1650 — нет. Если число B заканчивается цифрой 2, то число A может заканчиваться на 1 или 6. Но 1 стоит на первом месте, поэтому в этом случае число А имеет вид 1××6. Проверка показывает, что число 1056 не подходит, а число 1506 подходит. Следовательно, искомыми числами являются 1065, 1506, 1560 и 1605 и только они.
|
Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 2500.
и число A состоит из цифр 2, 4, 7, 9, число B является чётным числом и оканчивается на 4 или 8. Если число B оканчивается цифрой 4, то число A может оканчиваться на 2 или 7, если число B оканчивается цифрой 8, то число A может оканчиваться на 4 или 9. Число должно быть больше 2500. Этим условиям удовлетворяют числа 2749, 2947, 2974, 4297, 4729, 4792 и 4927.