все вершины многогранника лежат на сфере такой многогранник называется

13.07.202215.07.2022 admin 0 Comments

Все вершины многогранника лежат на сфере такой многогранник называется

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями о стереометрических фигурах; знание их свойств; знание формул для вычисления площадей поверхностей и объемов тел; умение применять эти знания при решении задач.

Ориентировочное время выполнения учащимися: 10—15 минут.

• Элементы, площадь поверхности, объем стереометрических фигур.

Особенности экзаменационных заданий по стереометрии

Задания этого вида представляют собой стереометрические задания на установление взаимосвязи между основными элементами многогранников и круглых тел, а также на использование формул для вычисления их площадей поверхностей и объемов. Вычислительной трудности задания не представляют; решение, как правило, сводится к использованию одной-двух формул. Соответствующие формулы нужно знать наизусть.

Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частный случаем параллелепипеда и призмы, поэтому для него выполнены все их свойства. Кроме того, если а — длина ребра куба, — диагональ основания, — диагональ куба, — площадь полной поверхности, а V — объем куба, то справедливы формулы:

Призма. Прямоугольный параллелепипед

Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы.

Правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник.

Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, а все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

Соотношения для прямой призмы

Пусть H — высота прямой призмы, AA₁ — боковое ребро, — периметр основания, — площадь основания, — площадь боковой поверхности, — площадь полной поверхности, V — объем прямой призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Особенности правильной шестиугольной призмы

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Напомним его свойства.

— Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

— Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.

— Меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.

— Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.

— Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.

— Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.

Пусть вне плоскости многоугольника задана точка P. Тогда фигура, образованная треугольниками , и многоугольником вместе с их внутренними областями называется пирамидой (n-угольной пирамидой).

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание ее высоты — центр этого многоугольника.

Соотношения для правильной пирамиды

Пусть H — высота правильной пирамиды, h — ее апофема, — периметр основания пирамиды, — площадь основания, — площадь боковой поверхности, — площадь полной поверхности, V — объем правильной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).

Теоремы, используемые при построении сечений

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.

Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости то она параллельна и самой плоскости

Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.

Алгоритм построения сечений

Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.

1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.

2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.

3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.

Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:

— все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;

— все стороны сечения лежат в гранях многогранника;

— в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.

Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

Соотношения для цилиндра

Пусть h — высота цилиндра, r — радиус основания, S_бок — площадь боковой поверхности, S_полн — площадь полной поверхности, V — объем цилиндра. Тогда имеют место следующие соотношения:

Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.

Соотношения для конуса

Пусть h — высота конуса, r — радиус основания, l — образующая, S_бок — площадь боковой поверхности, S_полн — площадь полной поверхности, V — объем конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

Сфера и шар

Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара. Пусть R — радиус шара, S — площадь сферы, V — объем шара. Тогда имеют место следующие соотношения:

Комбинации круглых тел. Вписанные сферы

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих оснований цилиндра и каждой его образующей.

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и каждой его образующей.

Сфера называется вписанной в усечённый конус, если она касается обоих оснований конуса и всех его образующих.

Теорема 1: В прямой круговой цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру основания. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.

Теорема 2: В любой прямой круговой конус можно вписать сферу. Причём центр сферы есть точка пересечения оси конуса с биссектрисой угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.

Теорема 3. В усечённый конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой, и длина его образующей равна сумме длин радиусов оснований. Причём центр сферы есть середина оси усечённого конуса.

Комбинации круглых тел. Описанные сферы

Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности его оснований лежат на сфере.

Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и его основание лежат на сфере.

Теорема 1: около цилиндра можно описать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.

Теорема 2: около конуса можно описать сферу тогда и только тогда, когда он круговой. Причём центр сферы есть точка пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через центр его, и плоскости, перпендикулярной какой-либо его образующей конуса и проходящей середину этой образующей.

Следствие: сферу можно описать около любого прямого кругового конуса. В этом случае, центр сферы — точка пересечения прямой, содержащей высоту конуса с плоскостью, перпендикулярной какой-либо из его образующих и проходящей через ее середину.

Комбинации конуса и цилиндра

Цилиндр называется вписанным в конус, если одно его основание лежит на основании конуса, а второе совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Конус в этом случае называется описанным вокруг цилиндра.

Цилиндр называется описанным вокруг конуса, если центр одного из оснований цилиндра является вершиной вершина конуса, а противоположное основание цилиндра совпадает с основанием конуса. Конус в этом случае называется вписанным в цилиндр.

Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы

Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на этой сфере. Многогранник называется в этом случае вписанным в сферу.

Возможность описать сферу около многогранника означает существование точки (центра сферы), равноудалённой ото всех вершин многогранника.

Теорема 1: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какое-либо из его рёбер, то основание этого перпендикуляра разделит ребро на две равные части.

Теорема 2: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какую-либо из его граней, то основание этого перпендикуляра попадёт в центр круга, описанного около соответствующей грани.

Теорема 3: если около многогранника описана сфера, то её центр лежит на пересечении перпендикуляров к каждой грани пирамиды, проведённых через центр окружности, описанной около соответствующей грани.

Теорема 4: если около многогранника описана сфера, то её центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды перпендикулярно к этим рёбрам.

Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы

Сфера называется вписанной в многогранник, если все его грани касаются этой сферы. Многогранник называется в этом случае описанным около сферы.

Теорема: если в многогранник с площадью поверхности S и объёмом V вписан шар радиуса r, то справедливо соотношение:

Комбинации конуса, цилиндра и многогранников

В условиях задач встречаются также следующие понятия, не входящие в школьные учебники, которые уточняются непосредственно в условиях задач. Приведем наиболее употребительные из них.

Цилиндр вписан в призму: основания цилиндра вписаны в основания призмы.

Цилиндр описан вокруг призмы: основания цилиндра описаны вокруг оснований призмы.

Цилиндр вписан в пирамиду: одно из основание цилиндра вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр описан вокруг пирамиды: вершина пирамиды принадлежит одному из оснований цилиндра, а другое его основание описано вокруг основания пирамиды.

Конус вписан в призму: основание конуса вписано в основание призмы, а вершина конуса принадлежит противоположному основанию призмы.

Конус описан вокруг призмы: одно из оснований призмы вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание призмы вписано в основание конуса.

Конус вписан в пирамиду: их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.

Конус описан вокруг пирамиды: их вершины совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.

Источник

Урок геометрии в 11 классе по теме «Комбинация шара с круглыми телами»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Комбинация шара с круглыми телами

продолжить формирование знаний о взаимном расположении геометрических тел; систематизировать и обобщить знания по комбинации шара и конуса, шара и цилиндра;

способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, наглядно-действенного мышления; развивать пространственное воображение, навыки решения задач;

воспитывать потребность в самообразовании, культуру умственного труда; содействовать формированию учебных компетенций по самостоятельному приобретению знаний.

Знают и умеют изображать основные многогранники и тела вращения; выполнять чертежи по условиям задач и решать простейшие задачи. Могут собрать материал для сообщения по заданной теме.

Листы с тестовыми заданиями

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока

Ознакомление с темой урока, постановка его целей и задач.

На прошлых уроках мы рассмотрели задачи на комбинации шара и призмы, шара и пирамиды. Этим комбинации тел не ограничиваются, примеры каких комбинаций тел вы еще можете привести?

• цилиндр и пирамида;

Тема нашего урока «Комбинация шара с круглыми телами». Определите цели и задачи урока.

— Закрепить знания и умения по уже изученным темам;

— Совершенствовать навыки решения задач на комбинации тел;

— Развивать умение логически мыслить, рассуждать, делать выводы.

Проверка домашнего задания.

Учащиеся через проектор по готовому решению проверяют домашние задачи №№ 639(а), 634(б).

Проверка знаний и умений учащихся по пройденному материалу.

Учащиеся выполняют тест на знание теории ( вопрос №5 теста на опережение ) и сдают тетради.

1. Если сфера касается всех граней многогранника, то она называется.

а) описанной около многогранника;

б) вписанной в многогранник;

в) касательной к многограннику.

2. Все вершины многогранника лежат на сфере, такой многогранник называется.

а) вписанным в сферу;

б) описанным около сферы;

в) касательным к сфере.

3. Шар можно вписать в.

а) произвольную призму;

б) треугольную пирамиду;

в) треугольную призму.

4. В прямую призму, в основание которой вписана окружность, можно вписать сферу, если.

а) высота призмы равна диаметру вписанной окружности;

б) центр сферы лежит на высоте призмы;

в) высота призмы равна радиусу вписанной окружности.

5. Во всякий цилиндр можно вписать сферу, если.

а) центр сферы лежит на оси цилиндра;

б) сфера касается оснований цилиндра;

1. Если на сфере лежат все вершины многогранника, то она называется.

а) описанной около многогранника;

б) вписанной в многогранник;

в) касательной к многограннику.

2. Если каждая грань многогранника является касательной плоскостью к сфере, то такой многогранник называется.

а) вписанным в сферу;

б) описанным около сферы;

в) касательным к сфере.

3. Шар можно описать около.

б) любой правильной пирамиды;

в) наклонной призмы.

4. В прямую призму вписана сфера, около призмы еще описана сфера, центры этих сфер.

а) лежат на разных диагоналях призмы;

б) принадлежат высоте призмы и ие совпадают;

5. Около любого цилиндра можно описать сферу. Основания цилиндра являются.

а) касательными плоскостями к сфере;

б) большим кругом сферы;

Изложение нового материала.

Шар, вписанный в цилиндр, касается оснований цилиндра в их центрах. А боковой поверхности цилиндра — по параллельной основаниям окружности большого круга (то есть радиус этой окружности равен радиусу шара).

Если шар вписан в цилиндр, то цилиндр описан около шара. В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний, то есть его высота равна диаметру. Радиус вписанного в цилиндр шара R равен радиусу цилиндра r: R= r.

Решение задач на шар, вписанный в цилиндр, чаще всего сводится к рассмотрению осевого сечения комбинации тел.

Это сечение представляет собой квадрат с вписанной в него окружностью. Сторона квадрата равна высоте цилиндра и диаметру шара: H=2R

Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса. При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Первичное закрепление изученного.

По условию задачи используется рис. 157, а) из учебника, предложим решение (рис. 1).

Решить задачу № 643(а)

По условию задачи используется рис. 157 б) из учебника, для решения рассмотрим осевое сечение (рис. 2).

При наличии времени можно предложить учащимся выполнить №645.

Подведение итогов урока и постановка домашнего задания.

Домашнее задание: Изучить вопросы теории по данной теме из классной работы, №№ 522, 643(б), наиболее подготовленным учащимся № 630.

Во всякий ли цилиндр можно вписать шар?

Чему равен радиус вписанного в цилиндр шара?

Где лежит центр шара, вписанного в конус?

Что собой представляет сечение шара и вписанного в него конуса?

Источник

«Комбинации многогранника и шара» (пособие для учителя)

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Комбинации с многогранником и шаром (пособие для учителя).

Творческая работа учителя математики гимназии №1

Гришиной Ирины Владимировны

Основные определения и теоремы 4

Контрольные вопросы 6

Примеры решения задач 7

Основные определения и теоремы 17

Контрольные вопросы 20

Примеры решения задач 21

Настоящая работа написана из опыта проведённых уроков геометрии по теме «Комбинации тел» в 11 ом профильном (физико-математическом) классе с целью систематизации собранных материалов в помощь учителям, также работающим в профильном классе.

Задачи на комбинацию тел – наиболее трудный вопрос курса стереометрии 11 ого класса. Начинающий учитель обязательно испытает трудности и в том, насколько глубоко должны быть изложены теоретические сведения для учащихся, и в том, какие задачи предложить учащимся для решения. Очевидно, что целью учителя профильного класса является то, чтобы максимально подготовить своих учеников к успешной сдаче приёмного экзамена в ВУЗы. Главным здесь является умение решать задачи, поэтому последние подобраны в основном из сборников задач вступительных экзаменов в различные ВУЗы, а теоретическая часть не отягощена доказательствами тех фактов, которые представляются очевидными.

В первом и втором разделах данной работы материал представлен по следующему плану:

основные теоретические сведения (могут быть предложены учащимся для записи, т. к. школьные учебники не содержат этих сведений, учитель может сопровождать объяснение показом на моделях, чтобы, как уже замечалось, не отяготить изложение излишними доказательствами);

контрольные вопросы (используя их, учитель может провести опрос учащихся в устной или письменной форме);

примеры решения задач (для организации классной и домашней работы учащихся; в большинстве случаев указывается источник, из которого взята задача, и её номер).

Как итог, приводится примерный текст контрольной работы, которую учитель может провести по окончании изучения данной темы.

Тема «Комбинации тел» рассматривается как завершающая после изучения свойств многогранников и тел вращения, перед изучением формул объёмов. На её изучение целесообразно отвести 9-12 часов (в зависимости от уровня подготовки класса).

Многогранники, вписанные в шар.

Основные определения и теоремы.

Определение. Сфера называется описанной около многогранника (или многогранник, вписанным в сферу), если все вершины многогранника лежат на этой сфере.

Центр этой сферы является точкой, равноудалённой от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему. (Целесообразно предварительно вспомнить с учащимися положение центра окружности, описанной около многоугольника, а также задачу о равноудалённости от концов отрезка каждой точки плоскости, если эта плоскость проходит через середину отрезка перпендикулярно ему).

Рассмотрим теперь различные виды многогранников, вписанных в сферу.

Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как он должен быть прямым и около его основания – параллелограмма – может быть описана окружность (т. е. основание – прямоугольник).

Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность. (Значит, если пирамида треугольная, то около неё всегда может быть описана сфера)

Центр сферы, описанной около пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, восставленном из центра окружности, описанной около основания, так как каждая точка его равноудалена от вершин основания пирамиды.

В случае, когда боковые рёбра пирамиды равны (равнонаклонены к основанию), вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. Можно сказать иначе: высота пирамиды лежит на вышеуказанном перпендикуляре. В этом случае около пирамиды всегда можно описать сферу, причём центр этой сферы является точкой пересечения высоты (или её продолжения) пирамиды и плоскости, перпендикулярной боковому ребру и проходящей через его середину.

Для решения задач на комбинацию шара с многогранником изображение шара бывает излишним, достаточно указать его центр и радиус.

В случае пирамиды с равными боковыми рёбрами показывают положение центра описанного шара как точку пересечения высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру, лежащему в плоскости, проходящей через высоту и боковое ребро.

Полезно учащимся предложить один из приёмов нахождения радиуса описанной сферы.

Пусть SABC – пирамида с равными боковыми рёбрами, h – её высота, R – радиус окружности, описанной около основания. Найдём радиус описанной сферы.

Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO ₁ и SAO.

R ₁ = b 2 /(2h), где b – боковое ребро.

Полученную формулу радиуса описанной сферы для пирамиды с равными боковыми рёбрами будем в дальнейшем применять при решении задач.

Какой многогранник называется вписанным в сферу?

Каким свойством обладает точка, являющаяся центром сферы, описанной около многогранника? Точкой пересечения каких плоскостей она является?

В каком случае можно описать сферу около n-угольной призмы? Каково положения центра этой сферы?

В каком случае можно описать сферу около четырёхугольной призмы?

В каком случае можно описать сферу около параллелепипеда?

В каком случае можно описать сферу около пирамиды?

Сколько боковых рёбер должно быть у пирамиды, чтобы около неё можно было описать сферу в любом случае?

На каком перпендикуляре к основанию находится центр сферы, описанной около пирамиды, и почему?

В какую точку основания проектируется вершина пирамиды, если её боковые рёбра имеют одинаковую длину?

Каким свойством обладает каждая точка высоты пирамиды с равными боковыми рёбрами?

Каково положение центра сферы, описанной около пирамиды с равными боковыми рёбрами?

Как удобнее при решении задач изобразить центр сферы, описанной около пирамиды с равными боковыми рёбрами?

Может ли центр описанной сферы находиться вне многогранника? Сравните с положением центра описанной окружности около многоугольника.

Запишите формулу радиуса описанной сферы для пирамиды с равными боковыми рёбрами через радиус R окружности, описанной около основания, и высоту пирамиды h.

Примеры решения задач.

Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.

Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SABC изображение центра описанного шара. Проведём апофемы SD и AD (SD = AD). В равнобедренном треугольнике ASD каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка O ₁ есть пересечение высоты SO и отрезка DN. Используя формулу из примера 1, получим:

S O ₁ = SA 2 /(2SO); SO =  SA 2 – AO 2 ;