в треугольнике авс проведена биссектриса ал на стороне ас взята точка р так что
В треугольнике авс проведена биссектриса ал на стороне ас взята точка р так что
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.
В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.
б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.
В треугольнике авс проведена биссектриса ал на стороне ас взята точка р так что
Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.
а) Докажите, что CD = BC.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
а) По свойству биссектрисы получим:
Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
Осталось по теореме косинусов найти CD из треугольника BCD:
Таким образом CD = BC = 2. Что и требовалось доказать.
б) Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
Ответ: 
Примечание: в данной задаче получилось, что ADC равнобедренный, откуда 
откуда 
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан 
а также 
получим:
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то 
Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и 
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем 
откуда 
Ответ: 
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отложены соответственно отрезки 
а) Докажите, что 
где 
б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.
а) Напишем теорему Менелая для треугольника ABF и прямой MKC. Получим
Аналогично площади остальных треугольников равны 
Ответ: 
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.
а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Пусть в прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе CD. Треугольники ACD и ABC подобны по двум углам ( 
общий, 
) с коэффициентом 
и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей.
По тем же причинам подобны треугольники BCD и ABC ( 
общий, 
). Значит, и треугольники ACD и BCD подобны.
б) Как следует из первого пункта, в треугольниках ACD, BCD, ABC одинаково отношение гипотенузы к радиусу вписанной окружности. Обозначим это отношение за x. Тогда 
Тогда по теореме Пифагора 
откуда 
В треугольнике авс проведена биссектриса ал на стороне ас взята точка р так что
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан а также получим:
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем откуда
По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем откуда
Ответ:
Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABK.
а) Заметим, что 
поскольку тогда 
или 
как перпендикуляры к одной прямой. Значит, 
Обозначим основания высот треугольника 
за 
Тогда точки K, B, A, A1, B1 лежат на окружности с диаметром 
(из-за прямых углов). заметим, что 
— основание перпендикуляра из 
на 
Перепишем требуемое утверждение:
Это верно из-за подобия треугольников 
и 
по двум углам: действительно, 
б) Из пункта а) следует, что 
Ответ: 
В треугольнике авс проведена биссектриса ал на стороне ас взята точка р так что
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.
В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.
б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.
Приведем другое решение.
а) Обозначим за K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Далее, в 
видим, что KM является высотой и медианой, откуда следует, что треугольник BMN равнобедренный. Обозначим BM = MN = x, тогда MC = BC − BM = 5 − x.
Из 
по теореме косинусов получаем:
Из треугольника 
по теореме косинусов: 
откуда:
Таким образом получили, что MN = 2, MC = 3 — значит, треугольник MCN равнобедренный, откуда следует, что биссектриса CO является и высотой, и медианой. Значит, точка O — середина стороны MN. Что и требовалось доказать.
б) Опустим вспомогательный перпендикуляр из точки P на сторону AN (пересечение в точке H). Отрезок PH является радиусом вписанной окружности, так как P — точка пересечения биссектрис (а значит — центр вписанной окружности). Найдем радиус из формулы 
где S — площадь треугольника ABC, p — полупериметр треугольника, равный 
Найдем площадь по формуле Герона:
Тогда 
Из треугольника ABC вновь по теореме косинусов найдем косинус угла A (обозначим его за 
):
Так как 
то
откуда
Тогда из 
получаем:
Найдем, что HN = AN − AH = 1, тогда из 
по теореме Пифагора:
Окончательно получаем, что 
В треугольнике авс проведена биссектриса ал на стороне ас взята точка р так что
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.
Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.
В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.
б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
|