Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Отрезок AP — диаметр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что прямая HP пересекает отрезок BC в его середине.
б) Луч PH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M. Найдите длину отрезка MC1, если расстояние от центра этой окружности до прямой BC равно 4, ∠BPH = 120°.
а) Проведем отрезки PB и PC (см. рис. слева). Отрезок AP — диаметр, поэтому углы PCA и PBA — прямые. Отсюда следует, что прямая BB1 параллельна прямой PC, а прямая СС1 параллельна прямой PB. Тогда BPCH — параллелограмм, а его диагонали BC и PH точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.
б) Пусть K — середина BC, O — центр окружности (см. рис. справа). Треугольник OBC равнобедренный с основанием BC, поэтому OK — его высота. Отрезок OK — средняя линия треугольника AHP, а значит, AH = 2OK = 8. Четырехугольник AC1HM вписан в окружность с диаметром AH, тогда
Применим теорему синусов:
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а
а) Пусть — центр вписанной окружности, следовательно, и − биссектрисы. Обозначим углы : Тогда и (опираются на одну дугу). Имеем: Но также как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство:
По теореме синусов, Следовательно, искомая площадь
Ответ: б)
Примечание Дмитрия Гущина.
Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце):
1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.
2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.
В нашем случае эта точка — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, а поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.
Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.
Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а
а) Пусть — центр вписанной окружности, следовательно, и − биссектрисы. Обозначим углы : Тогда и (опираются на одну дугу). Имеем: Но также как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство:
По теореме синусов, Следовательно, искомая площадь
Ответ: б)
Примечание Дмитрия Гущина.
Ученик, занимавшийся в математическом кружке, или посещавший факультатив, узнает в задаче стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце):
1. Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.
2. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.
В нашем случае эта точка — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, а поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.
Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает большую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.
а) Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку C, пересекает общую касательную AB в точке M. Тогда то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Значит, Тогда поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB. Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.
б) Пусть радиусы окружностей равны r и R, где r
Опустим перпендикуляр EF из точки E на BD. Тогда
Отрезок AC — высота прямоугольного треугольника ABE, проведённая из вершины прямого угла, а EB и ED — секущие к большей окружности, проведённые из одной точки, поэтому
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.
Решение
ME² = MB·MA = MF², то есть ME = MF. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Диагонали четырёхугольника AEKF делят друг друга пополам, то есть AEKF – параллелограмм. ∠CAE = ∠FEK (оба они равны углу между хордой CE и касательной FE). Аналогично ∠DAF = ∠EFK. Поэтому сумма трёх углов с вершиной A равна сумме углов треугольника EFK, то есть 180°. Значит, точки C, D и A лежат на одной прямой.
Второй способ. ME·MF = MB·MA = MB·MK, следовательно, четырёхугольник BEKF – вписанный. Кроме того, KE·KC = KB·KA = KF·KD, поэтому точки E, B, F переходят в C, A, D при инверсии с центром K и радиусом А инверсия переводит окружность BEKF, проходящую через её центр, в прямую.
— центр вписанной окружности, следовательно, 
и 
− биссектрисы. Обозначим углы 
: 
Тогда 
и 
(опираются на одну дугу). Имеем: 
Но также 
как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство: 
Следовательно, искомая площадь 
то есть медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Значит, 
Тогда 
поэтому AE — диаметр меньшей окружности. Следовательно, прямая AE перпендикулярна прямой AB. Аналогично докажем, что прямая BD перпендикулярна прямой AB. Прямые AE и BD перпендикулярны одной и той же прямой AB, значит, они параллельны.
