в цилиндр вписан правильный тетраэдр abcd так что его ребро cd является образующей цилиндра

В цилиндр вписан правильный тетраэдр abcd так что его ребро cd является образующей цилиндра

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна x. M — середина ребра BC, L — середина ребра AB.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую DM и параллельная прямой CL, делит ребро AB в отношении 3:1, считая от вершины A.

б) Найдите угол между прямыми DM и CL.

а) Пусть прямая MF, параллельная прямой CL, пересекает прямую AB в точке F.

Плоскость DMF параллельна прямой CL по признаку параллельности прямой и плоскости. MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому: А это и требовалось доказать.

б) Искомый угол между прямыми DM и равен углу DMF. Для удобства введем обозначение MF — средняя линия треугольника BCL, поэтому:

Выразим квадрат отрезка DF по теореме косинусов в двух треугольниках: DMF и BDF:

Поскольку и подставляя числовые данные, получим:

Откуда

Ответ:

Аналоги к заданию № 507634: 511454 Все

В правильном тетраэдре SABC точка M — середина ребра AB, а точка N расположена на ребре SC так, что SN : NC = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка MN, если длина ребра AB равна 8.

а) Рассмотрим прямую MN, обе точки принадлежат обоим указанным плоскостям (SMC и ANB), то есть прямая MN есть прямая пересечения плоскостей SMC и ANB. Из точки S опустим на MN перпендикуляр SH (он лежит в плоскости SMC). Заметим, что прямая AB перпендикулярна плоскости SMC (так как прямая SM перпендикулярна прямой AB и прямая CM перпендикулярна прямой AB), следовательно, прямая SN перпендикулярна прямой AB. Тогда прямая AB перпендикулярна плоскости ABN и, значит, плоскости SMC и ANB перпендикулярны.

б) Рассмотрим равнобедренный треугольник SMC. В нём SC = 8, откуда Заметим, что NC = 2. По теореме косинусов для треугольника MNC:

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Для начала построим сечение PQR: проведем линию QP до пересечения с прямой AC (точка E). В плоскости грани ADC соединим точки E и R: линия ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.

Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.

Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим QP по теореме косинусов:

Теперь найдем угол BPQ (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Заметим, что как вертикальные, тогда можем найти угол AEP (на рисунке угол 2):

Вычислим синус угла 2:

По теореме синусов для треугольника APE:

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме косинусов имеем:

Из этого же треугольника найдем угол CER (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Найдем синус угла ASE (на рисунке угол 2):

По теореме синусов для треугольника ASE:

*) см. примечание.

Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: Выразим векторы и через базисные:

где откуда,

где откуда

Теперь найдем длины этих векторов (используя то, что а также тот факт, что

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

Ответ:

Примечание Дмитрия Гущина.

Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда В нашем случае: откуда то есть

Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из восьми равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (см. рис.). Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 0,6.

Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Искомая поверхность состоит из четырёх пар равных треугольников, каждый из которых имеет площадь равную с четверти площади грани исходного тетраэдра. Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 6.

На боковых ребрах SA и SB правильного тетраэдра SABC взяты точки E и F так, что

а) Докажите, что косинус угла между плоскостями CEF и ABC равен

б) Найдите площадь проекции треугольника CEF на плоскость основания АВС, если ребро тетраэдра равно 9.

а) Пусть K — середина AB, CK — высота, M — точка пересечения апофемы SK с EF (то есть плоскостью CEF), а M’ — проекция точки M на высоту CK. Из условия следует, что прямые EF и AB параллельны, тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая CM перпендикулярна прямой EF и угол MCK — линейный угол между плоскостями CEF и ABC. Найдём его косинус.

Пусть ребро тетраэдра равно a. Тогда высота основания а высота пирамиды

Треугольники KMM’ и SOK подобны, при этом

б) Пусть E’ и F’ — проекции точек E и F соответственно. Тогда проекцией равнобедренного треугольника CEF является равнобедренный треугольник CE’F’. При этом его основание

Отсюда искомая площадь

Ответ: б)

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 2 раза, объём увеличится в 8 раз.

Это же следует из формулы для объёма правильного тетраэдра где — длина его ребра.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны Поэтому при увеличении ребер вдвое, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Площадь одного треугольника увеличится в 4 раза,а площадь всего тетраэдра увеличится в 16.

Пусть площадь первого и второго тетраэдров соответственно и а площади соответствующих треугольников и Тогда

Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 0,5. Значит, сечением является квадрат со стороной 0,5. Тогда площадь сечения

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 4 раза?

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 4 раза, объём увеличится в 64 раза. Это же следует из формулы для объёма правильного тетраэдра где — длина его ребра.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 36 раз?

Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны Поэтому при увеличении ребер в 36 раз, площадь поверхности увеличится в 1296 раз.

Ребра тетраэдра равны 38. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, и поэтому вдвое меньше параллельного ей ребра. Значит, сечением является квадрат со стороной 19. Тогда площадь сечения равна 361.

Ребра тетраэдра равны 32. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Каждая сторона сечения является средней линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 16. Значит, сечением является квадрат со стороной 16. Тогда площадь сечения

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

Площадь основания призмы равна а объём призмы равен

В четырёхугольной пирамиде B₁A₁C₁NM высота совпадает с высотой основания призмы A₁B₁C₁, опущенной на сторону A₁C₁, и равна Основание A₁C₁NM пирамиды B₁A₁C₁NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B₁A₁C₁NM равен то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен

Многогранник ABCMB₁N состоит из двух частей: BACNM и MNBB₁. Значит, объём тетраэдра MNBB₁ равен

Ответ:

Источник

Сфера, вписанная в цилиндр

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Сфера, вписанная в цилиндр
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы.
В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна
диаметру его основания.
Ее центром будет точка O, являющаяся
серединой отрезка, соединяющего центры оснований O1 и O2 цилиндра.
Радиус сферы R будет равен
радиусу окружности основания цилиндра.

Описание слайда:

Упражнение 1
В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус.
Ответ: 1.

Описание слайда:

Упражнение 2
В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра.
Ответ: 2.

Описание слайда:

Упражнение 3
Радиус основания цилиндра равен 2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Ответ: 4.

Описание слайда:

Упражнение 4
Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Ответ: 1.

Описание слайда:

Упражнение 5
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Ответ: Нет.

Описание слайда:

Упражнение 6
Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Ответ: Да.

Описание слайда:

Упражнение 7
Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб?
Ответ: Нет.

Описание слайда:

Упражнение 8
Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр?
Ответ: Нет.

Описание слайда:

Упражнение 9
Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см2. Найдите диаметр сферы.
Ответ: 2 см.

Описание слайда:

Упражнение 10
Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.
Ответ: 1 см.

Описание слайда:

Упражнение 11
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1.
Ответ: 0,5 см.

Описание слайда:

Упражнение 12
Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60о.
Ответ: Нет.

Описание слайда:

Упражнение 13
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60о.
Ответ:

Описание слайда:

Сфера, описанная около цилиндра
Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра.
Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O1 и O2 цилиндра.
Радиус сферы R вычисляется по формуле

где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.

Описание слайда:

Упражнение 1
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.
Ответ: 1.

Описание слайда:

Упражнение 2
Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 3
Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 4
Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 5
Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60о.
Ответ:

Описание слайда:

Цилиндр, вписанный в призму
Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра
В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда
в ее основание можно вписать окружность.
Радиус основания цилиндра равен
радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
Высота цилиндра равна
высоте призмы.

Описание слайда:

Упражнение 1
Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.

Описание слайда:

Упражнение 2
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 3
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
Ответ: 2.

Описание слайда:

Упражнение 4
Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 5
В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Ответ:

Описание слайда:

Цилиндр, описанный около призмы
Цилиндр называется описанным около призмы, если его основания описаны около оснований цилиндра. При этом, призма называется вписанной в цилиндр
Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности.
Высота цилиндра равна
высоте призмы.
радиусу окружности, описанной около основания призмы.
Радиус основания цилиндра равен

Описание слайда:

Упражнение 1
Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.

Описание слайда:

Упражнение 2
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 3
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Ответ: 5.

Описание слайда:

Упражнение 4
В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 5
Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Ответ: 1.

Описание слайда:

Упражнение 6
Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Ответ:

Описание слайда:

Упражнение 7
Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Ответ:

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Похожие материалы

Урок по математике «Геометрические фигуры. Признаки и характеристики предметов»

Сценарий открытого мероприятия, посвящённого 75-летию Победы в Великой Отечественной войне: «Памяти павших будьте достойны!»

Возможности и риски педагогической диагностики

Презентация на тему : «Этологическая теория»

Мастер-класс для воспитателей «Нетрадиционные техники лепки»

Презентация на тему: Электрический ток. Анализ опасности поражения током

«Вред и польза жевательной резинки»

Статья «Нетрадиционные формы обучения столяров»

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5287722 материала.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

На Госуслугах ввели запись детей на кружки и секции

Время чтения: 2 минуты

СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся

Время чтения: 1 минута

Заболеваемость ковидом среди студентов и преподавателей снизилась на 33%

Время чтения: 4 минуты

В Башкирии школьные каникулы продлили до 14 ноября

Время чтения: 1 минута

В Иркутской области продлили школьные каникулы

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник