в кубе abcda1b1c1d1 все ребра равны 5 на его ребре bb1 отмечена точка k так

Задание 14. Математика ЕГЭ. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB =4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

Задание.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB =4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P:PB₁ = 3:1, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Решение:

а) Докажите, что A₁P:PB₁ = 3:1, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

Построим плоскость α, проходящую через точки K и C₁ параллельно прямой BD₁. Для этого построим плоскость, содержащую прямую BD₁, т.е проходящую через точки B, B₁, D, D₁.

Точки K и C₁ лежат в одной плоскости, поэтому можно провести KC₁. Точка К лежит в плоскости BDD₁, проведем прямую KE параллельно BD₁. Эта прямая пересекает прямую B₁D₁ в точке E.

Точки Е и C₁ лежат в одной плоскости, проведем прямую C₁E. Прямая C₁E пересекает A₁B₁ в точке P.

Точки P и K лежат в одной плоскости, проведем PK. Плоскость KPC₁ – искомое сечение.

Треугольники BB₁D₁ и KB₁E – подобные треугольники, тогда

Рассмотрим рисунок, так как MENB₁ – квадрат, то EM = 1. Треугольники PB₁C₁ и PME – подобные треугольники, тогда

B₁C₁ = 5, пусть PB₁ = x, тогда PM = x — 1

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Треугольник B₁KC₁ – прямоугольный.

Пусть точка H – основание высоты B₁H треугольника B₁KC₁.

B₁H – проекция наклонной PH на плоскость BB₁C₁.

Тогда по теореме о трех перпендикулярах PH перпендикулярна KC₁.

Следовательно, угол PHB₁ – линейный угол искомого двугранного угла.

Треугольник PB₁H – прямоугольный, тогда

Найдем площадь треугольника B₁KC₁:

Площадь треугольника B₁KC₁ найдем другим способом:

Источник

В кубе abcda1b1c1d1 все ребра равны 5 на его ребре bb1 отмечена точка k так

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

а) В плоскости через точку К проведем прямую параллельно Пусть эта прямая пересекает диагональ в точке L. В плоскости основания проведем прямую пусть она пересекает сторону в точке P. Треугольник KPC₁ — сечение, проходящее через точки К и С₁ параллельно прямой BD₁. Действительно, прямая BD₁ параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.

В плоскости основания через точку A₁ проведем прямую параллельно C₁P. Пусть она пересекает D₁В₁ в точке М. По теореме Фалеса имеем: и поэтому Тогда Что и требовалось доказать.

б) Пусть теперь точка N — основание высоты прямоугольного треугольника — является проекцией наклонной PN на плоскость Тогда угол PNB₁ — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

Тем самым,

Ответ: б)

Приведём другое решение.

б) Уравнение плоскости — ax + by + cz + d = 0.

Приведём координаты точек C₁(0; 4; 4), K(4; 4; 3),

Подставив координаты указанных точек в уравнение, получим систему трёх уравнений

Вычтем из первого уравнения второе, из первого третье, из второго третье, получим следующую эквивалентную систему уравнений:

Таким образом, вектор нормали плоскости имеет вид Откуда имеем: a = 1, b = 3, c = 4. Получаем уравнение плоскости: x + 3y + 4z + d = 0. Определим теперь коэффициент d, для этого подставим в это уравнение координаты точки C₁:

Имеем: x + 3y + 4z – 28 = 0 — уравнение плоскости PKC₁. Координаты вектора нормали к плоскости Координаты вектора нормали к плоскости Обозначим угол между плоскостями и как Найдём косинус угла между плоскостями и

Откуда Может также быть получен ответ и через арктангенс:

Приведём идею решения Евгения Матвеева.

Введём систему координат с центром в точке Уравнение плоскости сечения C₁PK в отрезках Нормальный вектор к этой плоскости: нормальный вектор к плоскости BB₁C₁C: Тогда

Источник

В кубе abcda1b1c1d1 все ребра равны 5 на его ребре bb1 отмечена точка k так

Задание 14. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре ВВ1 отмечена точка K так, что KB=3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1 =2:1, где Р — точка пересечения плоскости α с ребром А1В1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ1С1C.

а) Проведём через точку K прямую, параллельную BD1. Пусть эта прямая пересекает плоскость грани A1B1C1D1 в точке L. Прямая KL лежит в плоскости BB1D1, значит, точка L лежит на диагонали B1D1. Более того, B1L:LD1 =В1K:KB=1:3.

Прямая C1L пересекает ребро А1В1 в точке Р, принадлежащей плоскости α. Треугольники B1LP и D1LC1 подобны, поэтому B1P:D1C1=B1L:D1L=1:3. Значит, A1Р:РВ1 =2:1.

б) Опустим из точки перпендикуляр В1Н на C1K. По теореме о трёх перпендикулярах прямые РН и C1K перпендикулярны. Значит, угол B1HP искомый.

Поскольку А1Р:РВ1 = 2:1, получаем PB1 = 4/3. В прямоугольном треугольнике B1C1K:

.

.

Ответ: .

Источник

В кубе abcda1b1c1d1 все ребра равны 5 на его ребре bb1 отмечена точка k так

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

а) В плоскости через точку К проведем прямую параллельно Пусть эта прямая пересекает диагональ в точке L. В плоскости основания проведем прямую пусть она пересекает сторону в точке P. Треугольник KPC₁ — сечение, проходящее через точки К и С₁ параллельно прямой BD₁. Действительно, прямая BD₁ параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.

В плоскости основания через точку A₁ проведем прямую параллельно C₁P. Пусть она пересекает D₁В₁ в точке М. По теореме Фалеса имеем: и поэтому Тогда Что и требовалось доказать.

б) Пусть теперь точка N — основание высоты прямоугольного треугольника — является проекцией наклонной PN на плоскость Тогда угол PNB₁ — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

Тем самым,

Ответ: б)

Приведём другое решение.

б) Уравнение плоскости — ax + by + cz + d = 0.

Приведём координаты точек C₁(0; 4; 4), K(4; 4; 3),

Подставив координаты указанных точек в уравнение, получим систему трёх уравнений

Вычтем из первого уравнения второе, из первого третье, из второго третье, получим следующую эквивалентную систему уравнений:

Таким образом, вектор нормали плоскости имеет вид Откуда имеем: a = 1, b = 3, c = 4. Получаем уравнение плоскости: x + 3y + 4z + d = 0. Определим теперь коэффициент d, для этого подставим в это уравнение координаты точки C₁:

Имеем: x + 3y + 4z – 28 = 0 — уравнение плоскости PKC₁. Координаты вектора нормали к плоскости Координаты вектора нормали к плоскости Обозначим угол между плоскостями и как Найдём косинус угла между плоскостями и

Откуда Может также быть получен ответ и через арктангенс:

Приведём идею решения Евгения Матвеева.

Введём систему координат с центром в точке Уравнение плоскости сечения C₁PK в отрезках Нормальный вектор к этой плоскости: нормальный вектор к плоскости BB₁C₁C: Тогда

Источник

В кубе abcda1b1c1d1 все ребра равны 5 на его ребре bb1 отмечена точка k так

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 13. Стереометрия с доказательством.

1. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB ₁ отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁ .
а) Докажите, что A ₁ P:PB ₁ =3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A ₁ B ₁ .
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB ₁ C ₁ C.

2. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB ₁ отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C ₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD ₁ .
а) Докажите, что A ₁ P:PB ₁ =3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A ₁ B ₁ .
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

4. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=6, а боковое ребро SA=4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Ответ: б) 8 + 2√2

5. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=60, а боковое ребро SA=37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Ответ: б) 5√3

7. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=3, SB=5, SD=3√5.
а) Докажите, что SA— высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Ответ: б) 2,4

8. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√21, SB=√85, SD=√57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

9. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

10. В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA ₁ равно 2√2. На рёбрах AB, A ₁ B ₁ и B ₁ C ₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B ₁ N= C ₁ K=2.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Ответ: б) 15

11. В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA ₁ =3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK=1. Точки M и L— середины рёбер A ₁ C ₁ и B ₁ C ₁ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) 3/4

12. В правильной четырёхугольной призме ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA ₁ равно 4√2. На рёбрах BC и C ₁ D ₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C ₁ L=2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A ₁ C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=2√2, AD=6, AA₁=10. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F соответств., причём A ₁ E:EA =3:2 и B ₁ F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B ₁ C ₁ .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D ₁ .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Ответ: б) 22,5

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁.

16. На ребрах CD и BB1 куба ABCDA₁B₁C₁D₁ c ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причем DP=4, а B ₁ Q=3. Плоскость APQ пересекает ребро CC ₁ в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC ₁ .
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

18. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а высота равна 1. На ребрах АВ, АС и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причем АМ=AN=3 и AK=7/4.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

19. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ является квадрат ABCD со стороной 4, высота призмы равна 6. Точка K делит ребро AA ₁ в соотношении AK:KA ₁ =1:2. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD ₁ в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD ₁ в отношении DM:MD ₁ =2:1.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 8√6

21. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=√5 и BC=2. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√7, SB=2√3, SD=√11.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Ответ: б) 30

22. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA=AQ=RC=2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
Ответ: б) 7/2

23. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB=13, PB=15, cos PBA=48/65. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды PABC.
Ответ: б) 90

6. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

База заданий сформирована из Официального Банка заданий ФИПИ,

Открытого банка заданий ЕГЭ, а также из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет.

Источник