График. Положительное или отрицательное направление при движении по окружности.
График. Поcтроение углов в различных квадрантах.
Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины. График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Пример 1
График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Примечание. Калькулятор дает только один ответ. График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Пример 2
График. Построение синусоиды.
Из определения тригонометрических функций sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o
Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T’S’, что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.
График. y=sinA и y=sin2A (синусоиды).
График. y=sinA и y=sin(1/2)A (синусоиды).
График. y=cosA и y=cos2A (косинусоиды).
График. y=cosA и y=cos(1/2)A (косинусоиды).
Пример 4. Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o
График. Построение y=4cos2x (косинусоида).
Пример 5. Построить график y=5sin(A+30 o ) в диапазоне от А=0 o до А=360 o
Решение: Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p, следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на ( π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o График. y=7sin2A и y=7sin(2A-п/3) (синусоиды).
Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе. Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором. Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt. Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR. График. Фазовый угол. Сдвиг по фазе.
Пример 7. Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
Пример 8. Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).
Решение Амплитуда = максимальное смещение = 3м Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м. При t=0 смещение = 100см=1м. Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33 Следовательно α=arcsin0,33=19 o Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).
График. Колебательный механизм (пример, синусоида).
v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад. 40πt= 0,611+0,542=1,153. Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс
Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида. Вариант для печати.
График функции y=sinA (синусоида)
График функции y=cosA (косинусоида)
График функции y=tgA (тангенсоида)
Из графиков видно что:
Углы произвольной величины
График. Положительное или отрицательное направление при движении по окружности.
График. Поcтроение углов в различных квадрантах.
Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины. График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Пример 1
График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Примечание. Калькулятор дает только один ответ. График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Пример 2
Построение синусоиды и косинусоиды
График. Построение синусоиды.
Из определения тригонометрических функций sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o
Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T’S’, что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.
Синусоидальные и косинусоидальные графики
График. y=sinA и y=sin2A (синусоиды).
График. y=sinA и y=sin(1/2)A (синусоиды).
График. y=cosA и y=cos2A (косинусоиды).
График. y=cosA и y=cos(1/2)A (косинусоиды).
Пример 4. Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o
График. Построение y=4cos2x (косинусоида).
Пример 5. Построить график y=5sin(A+30 o ) в диапазоне от А=0 o до А=360 o
Решение: Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p, следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на ( π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o График. y=7sin2A и y=7sin(2A-п/3) (синусоиды).
Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе. Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором. Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt. Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR. График. Фазовый угол. Сдвиг по фазе.
Пример 7. Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
Пример 8. Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).
Решение Амплитуда = максимальное смещение = 3м Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м. При t=0 смещение = 100см=1м. Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33 Следовательно α=arcsin0,33=19 o Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).
График. Колебательный механизм (пример, синусоида).
v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад. 40πt= 0,611+0,542=1,153. Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс
График. Положительное или отрицательное направление при движении по окружности.
График. Поcтроение углов в различных квадрантах.
Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины. График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Пример 1
График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Примечание. Калькулятор дает только один ответ. График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)
Пример 2
Построение синусоиды и косинусоиды
График. Построение синусоиды.
Из определения тригонометрических функций sin30 o =TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30 o и cos30 o =OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30 o
Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T’S’, что равно значению, соответствующему углу 30 o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.
Синусоидальные и косинусоидальные графики
График. y=sinA и y=sin2A (синусоиды).
График. y=sinA и y=sin(1/2)A (синусоиды).
График. y=cosA и y=cos2A (косинусоиды).
График. y=cosA и y=cos(1/2)A (косинусоиды).
Пример 4. Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0 o до х=360 o
График. Построение y=4cos2x (косинусоида).
Пример 5. Построить график y=5sin(A+30 o ) в диапазоне от А=0 o до А=360 o
Решение: Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p, следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает относительно 7sin2A на ( π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30 o График. y=7sin2A и y=7sin(2A-п/3) (синусоиды).
Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе. Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором. Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt. Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR. График. Фазовый угол. Сдвиг по фазе.
Пример 7. Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)
Пример 8. Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).
Решение Амплитуда = максимальное смещение = 3м Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м. При t=0 смещение = 100см=1м. Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33 Следовательно α=arcsin0,33=19 o Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).
График. Колебательный механизм (пример, синусоида).
v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o или 0,611 рад. 40πt= 0,611+0,542=1,153. Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Тригонометрический круг
История тригонометрии
Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.
Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.
В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.
Основные величины тригонометрии
Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.
В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.
Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:
Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:
Тригонометрический круг
Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:
Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α – от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.
Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.
Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.
Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад – это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.
Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:
Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.
Свойства тригонометрических функций: синус и косинус
Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.
Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:
Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае – нечетная.
Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:
Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.
Свойства тангенсоиды и котангенсоиды
Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.
Основные свойства котангенсоиды:
Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.
.gif "Косинусоида и синусоида в чем разница. Смотреть фото Косинусоида и синусоида в чем разница. Смотреть картинку Косинусоида и синусоида в чем разница. Картинка про Косинусоида и синусоида в чем разница. Фото Косинусоида и синусоида в чем разница")
.gif "Косинусоида и синусоида в чем разница. Смотреть фото Косинусоида и синусоида в чем разница. Смотреть картинку Косинусоида и синусоида в чем разница. Картинка про Косинусоида и синусоида в чем разница. Фото Косинусоида и синусоида в чем разница")
