Координатный луч что это такое в математике

Координатный луч

Всего получено оценок: 408.

Всего получено оценок: 408.

Координатный луч – это одна из систем ориентации в плоскости и сравнения чисел. Координатный луч очень часто используется при решении задач. Имеет смысл поговорить о координатном луче, выделить его особенности и отличия, определить правильную область применения.

Что такое координатный луч?

Координатный луч – это один из способов ориентации на плоскости.

Любой координатный луч имеет:

Направление движения обычно указывает сторону увеличения показателей.

Координатный луч позволяет определить положение точки только вдоль прямой. Что это значит? Представим себе координатный луч в виде реки. Так вот, мы можем определить положение путника у реки, но при этом, насколько он ушел вглубь берега – мы понять не сможем.

Поэтому чаще всего, вместо координатной прямой, используется декартова системы координат.

Когда-то мореплаватели к системе координатной прямой добавили угол, на который поднимается точка над линией горизонта. Так появилась полярная система координат. Это одна из самых древних систем навигации в мире.

Но координатную прямую удобно использовать для чертежей при решении задач, поэтому она до сих пор используется в курсе математики.

Чем отличается координатный луч от координатной прямой?

До этого мы уже говорили о координатной прямой. Следует сразу разделить координатный луч, числовой луч и координатную прямой.

Координатный и числовой лучи очень схожи. Различие заключается в том, что числовой луч может начинаться с любой точки и эта точка будет его началом. Все зависит от чисел, которые нам требуется сравнить. Координатный луч начинается всегда с 0, иначе он не может считаться координатным.

Координатная прямая же, в отличие от координатного луча, может быть продлена как в право, так и в лево от начала координат. Это позволяет отмечать на координатной прямой отрицательные числа.

Для того чтобы отметить отрицательные координаты на координатном луче, придется построить другой луч, который будет направлен влево.

Область применения

На самом деле, область применения координатного луча достаточно мала. Это могут быть:

На самом деле, это одна из гениальных идей математики: соединить вместе 4 координатных луча для получения системы ориентации на плоскости. Два луча лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, при этом два других луча лежат на прямой, перпендикулярной первой и так же направлены в противоположные стороны.

В результате получилась система, которую уже несколько сотен лет применяют для ориентирования на плоскости. Более того, декартову систему можно перевести в пространство.

Эту систему навигации используют спутниковые системы, радары, навигационные системы автомобилей. Такой системой пользуются художники при использовании компьютерной графики. И всему этому положил начало координатный луч. Поэтому нельзя сказать, что он бесполезен. Просто луч имеет малую область применения, но именно он положил начал современным системам навигации.

Что мы узнали?

Мы поговорили об определении координатного луча. Выделили его отличия от числового луча и координатной прямой. Оговорили область применения и особенности координатного луча в математике 5 класса.

Источник

Шкалы, координаты

Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.

Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.

Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).

Рисунок 1. Измерительная линейка.

Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.

Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).

Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.

Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.

Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.

Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.

Рисунок 2 Цена деления шкалы

Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки

Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.

Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.

Рис. 3. Луч с началом в точке O

Рис. 4. Луч с равными отрезками

Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).

Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.

Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами

Покажу еще раз на примере точки S :

так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),

подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:

Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.

Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.

Рис. 6. Координатный луч

Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.

Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.

Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.

Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.

Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.

Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка

Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).

Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.

Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.

Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.

Рис. 8. Координаты точек

Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).

В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.

Рис. 9. Большие числа на координатном луче.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.1 / 5. Количество оценок: 8

Источник

Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Координатный луч

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Координатный луч – это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Координатная прямая

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число отмечается в виде точки на координатной прямой.

Благодаря этому утверждению координатную прямую зачастую определяют как числовую.

Координаты точек на координатной прямой

Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.

Ранее было отмечено, что к каждому числу относится единственная точка на прямой. Можно сказать, что координата точки определяет ее положение на прямой. Именно координата задает эту точку.

Источник

Координатный луч

На рисунке изображён луч OE, который разбит на деления, как линейка.
Координатный луч
Точка O — начало луча, и этой точке соответствует число 0.
Эта точка — начало отсчёта.

Точке E соответствует число 1, а длина отрезка OE принята за единицу длины и называется единичным отрезком.

Единичный отрезок может содержать разное число клеток.
Каждая следующая точка отстоит от предыдущей на расстояние, равное единице длины.

Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки.

Пример. Точке A соответствует число 3.
Точка А на координатном луче
Значит, координата точки A равна 3. Записывается так A (3). Читается: точка A с координатой 3.
Для любого числа можно указать соответствующую ему точку, т. к. луч можно продолжить бесконечно.

Пример #1. Можно ли назвать изображённый луч координатным лучом?
Луч АВ

Решение:

Изображённый луч не будет координатным лучом, т. к. на луче не указано начало отсчёта и нет единичного отрезка.
Ответ: нет.

Пример #2. Можно ли назвать изображённый луч координатным лучом?
Луч МР

Решение:

Изображённый луч будет координатным лучом, т. к. на луче указано начало отсчёта, положительное направление слева направо и отмечено, что второе деление соответствует 6 единичным отрезкам, значит, одно деление соответствует 3 единичным отрезкам.
Ответ: да.

Пример #3. Определи координату точки C.

Решение:

Известно, что число, соответствующее точке координатного луча, является координатой этой точки. Точке E соответствует число 1, и длина отрезка OE принята за единицу длины и называется единичным отрезком.

До точки C от точки O — начала отсчёта — 2 единичных отрезка, поэтому точка C соответствует числу 2, т. е. координата точки C(2).
Ответ: координата точки C(2).

Пример #4. Запиши число, стоящее у конца стрелки на рисунке.
Координаты точки

Решение:

Для определения числа, стоящего у конца стрелки на данном рисунке, составим числовое выражение и найдём его значение:

Значит, искомое число, соответствующее точке у конца стрелки, равно 56.
Ответ: число, стоящее у конца стрелки на рисунке, равно 56.

Пример #5. Какую температуру показывает термометр, изображённый на рисунке? Какую температуру покажет этот термометр, если столбик опустится на 3 деления?
Определение температуры по термометру

Решение:

Анализируя данный рисунок, можно сделать вывод, что 1 деление соответствует 2 °С, значит, 3 деления соответствуют 6 °С, поэтому термометр, изображённый на рисунке, показывает температуру 26 °С.

Если столбик опустится на 3 деления, то термометр покажет температуру 26−3⋅2 = 20 °С.
Ответ: термометр показывает 26 °С, если столбик опустить на 3 деления, то термометр покажет 20 °С.

Пример #6. Запиши наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча, чтобы можно было отметить числа: 20, 30, 40, 50, 80, 90.

Скольким делениям соответствует число 50?

Решение:

Для того чтобы можно было отметить на координатном луче числа:
20, 30, 40, 50, 80, 90 — требуется определить наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча.

Заметим, что у предложенных чисел наибольшим общим делителем является число 10, поэтому возьмём, что одному делению соответствует число 10.

Значит, число делений, соответствующих числу 50, равно 5.

Ответ: наибольшее число единичных отрезков, соответствующих одному делению координатного луча, равно 10, а число делений, соответствующих числу 50, равно 5.

Пример #7. Определи координату точки B, изображённой на рисунке. Если координата точки O(0), а координата точки C(60).
Определение цены одного деления

Решение:

Для определения координаты точки B, изображённой на рисунке, найдём сначала, какому числу отвечает одно деление на этом координатном луче, отмеченное точкой E.
Длину отрезка OC определим как 4⋅OE, значит, точка E соответствует числу 60 : 4 = 15.

Поэтому координата точки B(180), т. к. до точки B от точки O 12 таких делений.
Ответ: координата точки B(180).

Пример #8. Определи координаты точек C и B:
Работа с координатным лучом

Решение:

Координату точки C можно узнать, отняв от координаты точки A указанное на рисунке число.

Получим: 99 − 47 = 52, т. е. координата точки C(52).

Далее, координату точки B можно узнать, прибавив к координате точки C указанное на рисунке число.

Получим: 52 + 28 = 80, т. е. координата точки B(80).

Ответ: координата точки C(52); координата точки B(80).

Пример #9. Запиши координаты точек A, B и C.
Координаты трёх точек на координатном луче

Решение:

Координату точки A можно узнать, прибавив к координате точки D указанное на рисунке число.

Получим: 80 + 50 = 130, т. е. координата точки A(130).

Далее, координату точки B можно узнать, отняв от координаты точки A указанное на рисунке число.

Получим: 130 − 37 = 93, т. е. координата точки B(93).

Координату точки C можно узнать, отняв от координаты точки B указанное на рисунке число.

Получим: 93 − 37 = 56, т. е. координата точки C(56).

Ответ: координата точки A(130); координата точки B(93); координата точки C(56).

Пример #10. Запиши точку, которой соответствует начало координатного луча на данном рисунке.
Начало координатного луча
Если известно, что координата точки H(35), координата точки L(45) и координата точки N(55).

Решение:

Анализируя рисунок, выясняем, что координата точки H(35), координата точки L(45) и координата точки N(55).

Между точками имеем по два деления.

Значит, цена одного деления: (45−35):2 = 5.

Отсчитаем от точки H влево 7 делений и получим точку, соответствующую числу 0, т. е. точку, которой соответствует начало координатного луча на данном рисунке.

Ответ: началом координатного луча на данном рисунке будет точка A.

Пример #11. Составь числовое выражение для координаты точки B и найди его значение:
Составь числовое выражение для координаты точки B

Решение:

Для определения числа, стоящего у конца стрелки на данном рисунке, т. е. для определения координаты точки B, составим числовое выражение и найдём его значение: 78 − 10 = 68.

Значит, искомое число, соответствующее точке B у конца стрелки, равно 68.
Ответ: числовое выражение для координаты точки B 78-10, его значение равно 68.

Пример #12. Изобрази координатный луч, считая, что единичный отрезок равен 2 клеткам тетради. Отметь на нём точку A (2). Скольким клеткам тетради соответствует отмеченная точка?

Решение:

Изображая координатный луч и считая, что единичный отрезок равен 2 клеткам тетради, получим, что точка A(2) соответствует
2 ⋅ 2 = 4 клеткам тетради.
Координатный луч с единичным отрезком в 2 клетки
Ответ: точка A соответствует 4 клеткам.

Пример #13. На рисунке изображена шкала. Какое число соответствует точке D? Шкала

Решение:

Анализируя данный рисунок, можно сделать вывод, что 1 деление соответствует числу 1, значит, точке D соответствует число 10 + 1 ⋅ 15 = 25.
Ответ: точке D на шкале соответствует число 25

Источник